—般来说，通信 中的时间信号都可以表示为正弦和余弦函数的叠加，傅里叶分析将时间函数的信号变成了频率函数的信号。用正弦和余弦函数表示时间函数，只是将信号用某种函数表示的一种。理论上说，任何一个完备的正交函数系，一般都能用来对时间信号进行与傅里叶分析中的级数展开相当的分析，或用来进行与傅里叶变换相当的变换。因此，一个时间函数，如话筒的输出电压信号、各种通信信号、甫达和测控信号等，都可以是正弦、余弦函数的迭加，也可以是沃尔什函数、勒让德多项式、抛物圆柱函数等的叠加。

      19世纪初，通信技术屮使用最重要的函数还是方块形脉冲。到19世纪末，由于制做出/电容器，正弦函数才开始得到实际应用。20世纪初，制成了用来分离不同频率正弦波的实际谐振电路。1915年又制作出了用电感和电容组成的低通和带通滤波器。此后，才开始了广泛应用正、余弦函数的新时代。时至今日，人们已经把一个时间信号看成是仅仅由许多正弦和余弦信号的叠加。迄今为止，通信理论基本上以正弦、余弦正交函数为它的数学基础。傅氏变换可以把信号随时间变化的波形分解为一系列的正弦波。正弦、余弦函数最重要的特点之一是：大多数用于通信屮的时间信号，都可以表示为正弦和余弦函数的迭加。傅里叶分析就焙进行这种分析的数学工具，它将时间函数变换成频率函数。

      如上所述，人们可以采用傅里叶方法，把信号分解成许多频率分量，这些频率的整个范围代表信号频谱由此可知，信号可以用瞬时值随时间变化的曲线即“时域”法来表示，也可以用频谱分量的振幅随频率变化的曲线，即“频域”法来表示。这两种表示有着直接联系，借助于傅里叶变换可以得到两者间的关系。

      1、傅里叶级数和离散频谱

      一个重复的信号是时间的周期函数。任何一个时间的周期函数f(t)，如图所示，都可用下面的傅里叶级数来表示

      式中，a_n，b_n是未知系数，由下式给出：

      式中，=2π/T，T为周期时间。a₀是直流项，由函数f(t)在一个周期T内的平均值来确定。

      说明：

      ①如果f(t)=f(-t)，则函数为偶函数，以原点对称且只有余弦项（直流项是任意常数)。

      ②如果f(t)= -f(-t)，则函数为奇函数，且有正弦项（直流项为任意常数)。

      ③如果f(t+T/2)=f(t)，则只有偶次谐波存在。

      ④如果f(t+T/2)=-f(t)，则只有奇次谐波存在。

      傅里叶级数代表无限多个频率分量，这无限多个频率分量的和等于时间函数f(t)。这些频率分量构成离散频谱，其中每个离散频率的振幅由系统a_n、b_n给出。所有的频率分量都是基频1/T的谐波，整个频率范围就是信号的频带。如图所示。

      虽然频谱可以由无限个离散频率组成，可是它们的振幅却随n值变大而减小。实际上，为满足通信的要求，考虑有限个频率就足够了。这一特性是非常重要的，其重要性在于，在通信系统中需要节省频带。频谱的知识有助于以最有效和最经济的方法传输和接收信号。

      2、复数形式的傅里叶级数

      表示周期函数f(t)的另一个更方便的方法是用复数。根据复数信号理论，我们可得到以下关系式

      将其带入傅里叶级数表达式后，得到

      令

      式中，C_-n和C_n是复数共轭的，用C_n和C_-n取代上述表达式中的系数a_n和b_n，得到

      或

      代入f(t)的表示式，可得：

      式中n值在最后项中是负值，并己包含在相加号（）符号里。于是也可利用n= 0把c₀包括在相加号（）符号里。于是

      上述结果表明：周期函数f(t)在数学上也可表示成正负频率分量的一个无限集合。负频率有数学上的含义，有时也有物理学的含义。例如正频代表反时针旋转，负频代表顺时针旋转。

      3、傅里叶积分

      令T→，则傅里叶级数法可以扩展到非周期波形，诸如单脉冲或单个的瞬变过程。用这种方法，相邻的脉冲实际上决不会出现，而脉冲串减少成单个孤立脉冲。

      假设f(t)原为周期的，我们有

      式中

      在极限条件下，对于单脉冲有

      进而，傅里叶级数的第n次谐波n→nd，并变成为由a定义的某个一般值。最后，在极限的条件下，相加符号（）成为积分号，我们就有

      在计算时，方括号中的量只是频率的函数，用g()来表示

      它称为f(t)的傅里叶变换。用它代替上式中的f(t)，得到

      这个公式称为傅里叶积分或傅里叶反变换。这里时间函数f(t)仅仅代表单个脉冲或瞬变过程的表达式。

      上述最后结果的意义在于，任何单脉冲或瞬变过程可以表示成无限个频率分量的g()和，式中是任何一般值。

      这样就得到连续频谱，而周期波形的频谱是离散谱。连续谱的物理意义是，各频率分量彼此靠得很近。因为在T→时，它们互相间的距离1/T趋近于零。

      通常g()是复数，为了给出时间函数f(t)的频谱，可以画出它的振幅和相角。

      由以上分析不难看出，一个时域不同的信号，它的频率域也不相同；反之，一个频率域不相同的信号，它的时间域特性也不相同。据此可以用信号在时域的不同，或在频域的不同来辨别不同的信号。如在引入信号的时域特性时所说的，信号特性能够用诸如持续吋间、周期和变化速率来表示，即用电压、电平随时间变化的关系曲线等表示；同时，信号特性也能够用带宽、频谱成分、幅度、相位及频率来表示，于是引入信号的频域特性。并且，时域参数与频域参数是相关的。正如时间域分析的那样，大多数通信信号在时间域上，统计参数都具有周期循环平稳的特点。将它们的统计参数，如均值、自相关函数和高阶函数等进行傅里叶变换，就可以在非零频率上得到一阶（均值）、二阶（相关函数）、高阶（高阶累积量）谱。同吋，由于平稳噪声的统计均值为常量，相关函数仅与时间间隔有关，是非时变的，不具有对时间的周期性，因此其循环均值和循环自相关函数在非零频率上恒为零，即平稳噪声不具备循环平稳性，实际上对于所有的平稳随机过程，都不是循环平稳的，因此可以利用循环平稳信号与平稳过程的这一不同，将两者区分开来。因此对信号作循环平稳特性分析，可以得到抑制噪声的效果，对于噪声背景下的信号检测有着重要的意义。

      通信信号的频率特性也同它的吋间域特性一样，可用于信号的分割。不同的用户可以使用不同的频率（范围）进行通信。在通信网中，利用这种特性可以实现多址通信。将多个信号同时通过一个信道传给另一用户时，使多个信号按频率高低排列起来，然后再发出去，就可以达到共享信道的目的，称为多路信号的复用。信号的不同频谱还代表其有不同的调制方式。正如在时域里为了表示信号随时间的变化速率而使导数一样，在频率域里有时还用高阶谱描述信号特性，或者用于低频谱密度信号的检测。这些都是描述信号细微特征或检测信号所需要的。

      信号的频率特性常用信号带宽或占用的频率范围、幅度频率特性、功率谱或能量谱、倒谱、周期谱和高阶谱等来描述。